Dreieck
Umkreismittelpunkt
Die drei Mittelsenkrechten im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem
Umkreismittelpunkt.
Inkreismittelpunkt
Die drei Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem
Inkreismittelpunkt.
Schwerpunkt
Die drei Seitenhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem
Schwerpunkt.
Höhenschnittpunkt
Die drei Höhen im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem
Höhrenschnittpunkt.
Satz des Pythagoras
Die Summe der Quadrate über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Satz von Ceva
Wenn sich in einem Dreieck ABC die drei Ecktransversalen AX, BY und CZ in
einem Punkt schneiden, dann hat das Produkt der Teilverhältnisse, das ihre
Schnittpunkte mit den Gegenseiten auf diesen bilden, den Wert 1:
Die Umkehrung gilt ebenfalls.
Satz von Menelaos
Eine Gerade schneidet die (ggf. verlängerten) Seiten eines Dreiecks so, daß
das Produkt der Teilverhältnisse, das ihre Schnittpunkte mit den drei
Seiten bilden, den Wert -1 hat, dabei liegen X auf BC, Y auf AC und Z auf AB:
Die Umkehrung gilt ebenfalls.
Satz von Stewart
In einem Dreieck ABC teile die Ecktransversale CZ die gegenüberliegende
Seite c in die Abschnitte AZ=m und ZB=n. Für die Länge CZ=t gilt dann:
Satz von Steiner-Lehmus
Jedes Dreieck mit zwei gleich langen Winkelhalbierenden ist gleichschenklig.
Eulers Abstand OI
Für den Abstand d=OI zwischen den Mittelpunkten von Um- und Inkreis eines
Dreiecks gilt (Inkreisradius r, Umkreisradius R):
Namenlose Sätze
- Die Winkelhalbierenden von Innen- und zugehörigem Außenwinkel eines
Dreiecks stehen senkrecht aufeinander.
- In jedem Dreieck teilt jede Halbierende eines Innenwinkels (Außenwinkels)
die gegenüberliegende Seite innerlich (äußerlich) im Verhältnis der
anliegenden Seiten.
- Der Winkel, unter dem eine Dreiecksseite vom Inkreismittelpunkt aus gesehen
wird, ist gleich dem um 90° vermehrten halben Gegenwinkel der Seite.
- Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei
das längere Teilstück die Entfernung zum jeweiligen Eckpunkt ist.
- Ein Dreieck wird durch seine Seitenhalbierenden in sechs kleinere
Teildreiecke zerlegt, die untereinander gleichen Flächeninhalt haben.
- Gegeben sei ein Dreieck mit einer beliebigen Geraden g durch dessen
Schwerpunkt. Liegen zwei Eckpunkte des Dreiecks auf der gleichen Seite
von g, so ist die Summe ihrer Abstände von g gleich dem Abstand des dritten
Eckpunktes von g.
- Der Höhenschnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.
- In einem Dreieck teilt der Höhenschnittpunkt jede Höhe so in zwei
Abschnitte, daß die Produkte ihrer Längen untereinander gleich sind.
- Spiegelt man in einem spitzwinkligen Dreieck den Höhenschnittpunkt
an den Seiten, so liegen die Bildpunkte auf dem Umkreis des Dreiecks.
- Im Dreieck ABC seien H der Höhenschnittpunkt und O der Mittelpunkt
des Umkreises. Danns ind die Winkel HAB und OAC gleich groß.
- mit obigen Bezeichnungen gilt:
- Für die Ankreisradien
sowie den
Inkreisradius r eines Dreiecks gilt
- P sei ein Punkt im Innern eines Dreiecks ABC. Das Lotfußpunktdreieck
von P hat dann die Seitenlängen ax/2R, by/2R, cz/2R, wobei x, y, z die
Abstände von P zu den Eckpunkten A, B, C und R der Umkreisradius des
Dreiecks ABC ist.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich
- dem Produkt aus halber Seitenlänge und zugehöriger Höhe:
- dem Produkt aus Inkreisradius r und halbem Umfang s
- dem Produkt aus den Seitenlängen a, b, c dividiert durch das Vierfache
des Umkreisradius R:
- Herons Formel:
Letzte Änderung: 16.02.2006
