Mathematik Olympiaden

Allgemeine Konstruktionen Oftmals heißt es in Olympiade Aufgaben: "Man konstruiere unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal...". Um die Lösung solcher Problemstellungen soll es in diesem Abschnitt gehen.

Nicht lösbare Probleme
Grundkonstruktionen
Nutzung von Hilfsdreiecken

Nicht lösbare Probleme

Die Dreiteilung eines beliebigen Winkels
Gegeben sei ein beliebiger ebener Winkel. Man teile ihn mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile. Jedoch: spezielle Winkel können durchaus dreiteilbar sein.
Die Verdopplung des Würfels (Delianisches Problem)
Gegeben sei eine Strecke der Länge 1. Man konstruiere daraus mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge .
Die Quadratur des Kreises
Gegeben sei eine Strecke der Länge 1. Man konstruiere daraus mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem Flächeninhalt .

Grundkonstruktionen In Olympiaden kann man auf den folgenden Grundkonstruktionen aufbauen und muß dabei selbige nicht explizit beschreiben. Hierbei reicht die Erwähnung des Namens und der einbezogenen geometrischen Objekte:

Errichten einer Senkrechten (durch einen Punkt auf einer Geraden)
Mittelsenkrechte (zu einer gegebenen Strecke)
Fällen des Lotes (durch einen Punkt bzgl. einer Geraden)
Parallele zu einer Geraden (durch einen Punkt)
Winkelhalbierende (eines Winkels)
Abtragen eines Winkels (an eine Gerade in einem Punkt)

Ebenfalls kann auf die Kongruenzsätze am Dreieck zurückgegriffen werden:

SWS: Es ist ein Dreieck zu zeichnen, von dem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.
WSW: Es ist ein Dreieck zu zeichnen, von dem eine Seite und zwei Winkel gegeben sind.
SSS: Es ist ein Dreieck zu zeichnen, dessen drei Seiten gegeben sind.
SSW: Es ist ein Dreieck zu zeichnen, von dem zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind.

Nutzung von Hilfsdreiecken Der folgende Abschnitt wurde wortwörtlich der Quelle [1] (S. 10f) entnommen:

Kommen unter den drei Stücken, die zur Konstruktion eines Dreiecks gegeben sind, auch andere Stücke als Seiten und Winkel vor, so kann man zur Lösung der Aufgabe einen Weg einschlagen, den man als die Lösung durch Hilfsdreiecks bezeichnet. an zeichnet zunächst ein beliebiges Dreieck und hebt darin die jeweils gegebenen Stücke kräftig hervor. Hierbei gelangt man im allgemeinen zu weiteren Dreiecken und untersucht, ob unter diesen neuen Dreiecken eines ist, das man mit Hilfe der gegebenen Stücke nach einer der soeben behandelten Grundaufgaben konstruieren kann. Schließlich überlegt man, wie nach Konstruktion dieses Hilfsdreiecks das verlangte Dreieck hergestellt werden kann. Diesen Teil der Konstruktion nennt man Analysis. Darauf folgen dann in klassischer Manier: die Konstruktion, die auf Grund der in der Analysis angestellten Überlegungen ausgeführt wird, die Behauptung, daß die Konstruktion wirklich das verlangte Dreieck geliefert hat, und der Beweis für die Richtigkeit der Behauptung. Als letzter Teil folgt die Determination (nähere Bestimmung). In ihr wird untersucht, in welchen Fällen die Aufgabe nicht lösbar ist, und ermittelt, ob die möglichen Lösungen das Dreieck eindeutig oder eventluell mehrdeutig bestimmen.
...
In einigen Fällen gelingt es nicht ohne weiteres, mit den vorgegebenen Stücken an ein konstruierbares Hilfsdreieck zu gelangen. Oft kann man sich dennoch helfen, indem fehlende Stücke durch Anwendung bekannter elementarer Sätze berechnet werden, die ihrerseits konstruierbar sind. meist genügt es, z.B. die Strahlensätze oder den Satz des Pythagoras geschickt auszunutzen.

Letzte Änderung: 16.02.2006