Viereck
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Allgemeines Viereck
Definition: Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie:
ein Vieleck (Polygon) mit vier Ecken und vier Seiten.
Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Bild:Viereck-Hierarchie.png
Definition: Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des
Vierecks, so ist dieses konvex.
Definition: Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegt genau eine Diagonale außerhalb des
Vierecks, so ist dieses konkav (bzw. hat eine konkave Ecke).
Definition: Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen außerhalb des
Vierecks, so ist dieses überschlagen.
Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu
den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet.
Entartete Vierecke:
- Überschlagene Vierecke
- Zwei oder mehr Eckpunkte fallen zusammen (Dreieck, Strecke, Punkt)
- Mehr als 2 Eckpunkte liegen auf einer Geraden (Dreieck, Strecke)
Im Allgemeinen spricht man, wenn man Viereck sagt, von einem konvexen Viereck. Jedoch muß
in Olympiaden explizit angegeben sein (außer bei niedrigen Klassenstufen), wenn man
den Spezialfall des konkaven Vierecks außer Acht lassen soll/will.
Sätze
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°:
Die Diagonalen stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Summe der Quadrate gegenüberliegender
Seitenlängen gleich groß ist.
Varignon-Parallelogramm: Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen
ebenen Vierecks, so entsteht ein Parallelogramm, dessen Flächeninhalt halb so groß
wie der des Vierecks ist.
Eine Diagonale teilt ein Viereck genau dann in zwei flächengleiche Hälften, wenn
sie auch die andere Diagonale halbiert.
In einem Viereck ABCD treffen sich die (verlängerten) gegenüberliegenden Seiten
AB und CD im Punkt W. Die Mittelpunkte der Diagonalen AC und BD seien X und Y.
Dann gilt:
Verallgemeinerte Dreiecksungleichung: In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger
Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:
Ptolemäische Ungleichung: In jedem Viereck gilt
Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz des Ptolemäus).
In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und
dem ganzen Umfang:
Flächeninhalt
Konstruktion
Ein Viereck kann unter anderem durch geeignete Kombinationen folgender Angaben (fünf
voneinander unabhängige Bestimmungsstücke) beschrieben werden :
- Winkel an den Ecken (Innenwinkel)
- Länge der Seiten
- Länge der Diagonalen
- Umfang
- Fläche
Aufgaben mit Vierecken
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Letzte Änderung: 17.02.2006
